Question

【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線經過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最小?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;

Answer 1

【答案】（1）；對稱軸是x=3；（2） .

【解析】

（1）由拋物線與x軸的交點坐標可設兩點式，再代入點A即可求出解析式；

（2）找到點A關于對稱軸的對稱點A'的坐標，連接BA'交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最小,再根據B、A'兩點的坐標求出其直線解析式，再由P點橫坐標為3即可求出P點坐標.

解:(1)拋物線經過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),可設兩點式,

設拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4),

求得a=,

∴y=(x-1)(x-5)=x2-x+4= (x-3)2-,

∴對稱軸是x=3.

(2)

如圖1,點A關于對稱軸的對稱點A'的坐標為(6,4),連接BA'交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最小,

設直線BA'的解析式為y=kx+b,

把A'(6,4),B(1,0)代入得解得,

∴y=x-.

∵點P的橫坐標為3,

∴y=×3-=.

∴P(3,).