Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

（1）求B的坐標；
（2）當點P運動到點（t，0）時，試用含t的式子表示點D的坐標；
（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于 ，若存在，請求出符合條件的點P的坐標（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．

由已知得：BF=OE=2，

∴OF= =2 ，

∴點B的坐標是（2 ，2）．

設直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），

則有 ，

∴ ．

∴直線AB的解析式是y=﹣ x+4，

（2）

解：∵△ABD由△AOP旋轉得到，

∴△ABD≌△AOP．

∴AP=AD，∠DAB=∠PAO．

∴∠DAP=∠BAO=60°．

∴△ADP是等邊三角形．

如圖2，

過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH．

在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，

∴BG=BDcos60°=t× = ．DG=BDsin60°= t．

∴OH=EG=2 + t，DH=2+ t．

∴點D的坐標為（2 + t，2+ t）．

（3）

解：存在．

假設存在點P，在它的運動過程中，使△OPD的面積等于 ．

設點P為（t，0），下面分三種情況討論：

①當t＞0時，如答圖2，BD=OP=t，DG= t，

∴DH=2+ t．

∵△OPD的面積等于 ，

∴ t（2+ t）= ，

∴t1= ，t2= （舍去）．

∴點P1的坐標為（ ，0）．

②∵當D在x軸上時，如圖3，

根據銳角三角函數求出BD=OP= ，

∴當﹣ ＜t≤0時，如答圖1，BD=OP=﹣t，DG=﹣ t，

∴GH=BF=2﹣（﹣ t）=2+ t．

∵△OPD的面積等于 ，

∴﹣ t（2﹣ t）= ，

∴t1=﹣ ，t2=﹣

∴點P2的坐標為（﹣ ，0），點P3的坐標為（﹣ ，0）．

③當t≤﹣ 時，BD=OP=﹣t，DG=﹣ t，

∴DH=﹣ t﹣2．

∵△OPD的面積等于 ，

∴ （﹣t）（﹣2﹣ t）= ，

∴t1= ，t2= （舍去）．

∴點P4的坐標為（ ，0）．

綜上所述，點P的坐標分別為P1（ ，0），P2（﹣ ，0），P3（﹣ ，0），P4（ ，0）．

【解析】（1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．設直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解．（2）由△ABD由△AOP旋轉得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數求出BG=BDcos60°，DG=BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標．（3）分三種情況進行討論：①當P在x軸正半軸上時，即t＞0時；②當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時；即﹣ ＜t≤0時③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤﹣ 時．綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值．