Question

【題目】(1)如圖:已知D為等腰直角△ABC斜邊BC上的一個動點(D與B、C均不重合),連結AD,△ADE是等腰直角三角形,DE為斜邊,連結CE,求∠ECD的度數.

(2)當(1)中△ABC、△ADE都改為等邊三角形,D點為△ABC中BC邊上的一個動點(D與B、C均不重合),當點D運動到什么位置時,△DCE的周長最小?請探求點D的位置,試說明理由,并求出此時∠EDC的度數.

(3)在(2)的條件下,當點D運動到使△DCE的周長最小時,點M是此時射線AD上的一個動點,以CM為邊,在直線CM的下方畫等邊三角形CMN,若△ABC的邊長為4，請直接寫出DN長度的最小值.

Answer 1

【答案】(1)∠ECD=90°； (2)點D運動到BC的中點時，△DCE的周長最小，理由見解析；∠EDC=30°；(3) DN長度的最小值為1.

【解析】

（1）由等腰直角△ABC、△ADE易證△BAD≌CAE，即可得出∠ECA＝∠B＝45°，進而求出∠ECD＝90°；

（2）證明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°推出CD＋EC＝CD＋BD＝BC，∠ECD＝60°＋60°＝120°，由△ECD的周長＝DE＋CD＋CE＝DE＋BC，BC為定值，推出DE最小時，△DCE的周長最小，根據AD⊥BC時DE最短即可解決問題；

（3）如圖3中，取AC的中點H，連接DH，則△DCH是等邊三角形．作HK⊥AD于K．證明△HCM≌△DCN（SAS），推出DN＝HM，推出HM最小時，DN的值最小，當HM與KH重合時，HM的值最小，依此求解．

解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B＝∠ACE＝45°，

∴∠ECD＝45°＋45°＝90°；

（2）如圖2，

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝60°，

∴△BAD≌CAE（SAS），

∴BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°

∴CD＋EC＝CD＋BD＝BC，∠ECD＝60°＋60°＝120°，

∵△ECD的周長＝DE＋CD＋CE＝DE＋BC，

∵BC為定值，

∴DE最小時，△DCE得到周長最小，

∵DE＝AD，

∴AD⊥BC時，AD最小，此時BD＝CD＝CE，

∴∠EDC＝（180°120°）＝30°，

∴當點D運動到BC的中點時，△DEC周長最小，此時∠EDC＝30°；

（3）如圖3中，取AC的中點H，連接DH，則△DCH是等邊三角形．作HK⊥AD于K．

∵CH＝CD，CM＝CN，∠DCH＝∠MCN，

∴∠HCM＝∠DCN，

∴△HCM≌△DCN（SAS），

∴DN＝HM，

∴HM最小時，DN的值最小，

當HM與KH重合時，HM的值最小，KH＝AH＝1，

∴DN的長度的最小值為1．