Question

【題目】如圖，，，，分別平分的外角，內角，外角．以下結論：①；②；③；④平分；⑤．其中正確的結論有______________．（把正確結論序號填寫在橫線上）

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

根據角平分線定義得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根據三角形的內角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根據三角形外角性質得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根據已知結論逐步推理，即可判斷各項．

解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正確；
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，∴②正確；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ACF，
∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠ACD）
=180°-（∠EAC+∠ACF）
=180°-（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
=180°-（180°+∠ABC）
=90°-∠ABC，∴③正確；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④錯誤；

∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠CBD=∠ABC，

∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF=∠ACF，

∴∠DCF-∠CBD=∠ACF-∠ABC

∵∠BAC=∠ACF-∠ABC

∠BDC=∠DCF-∠CBD

∴∠BDC=∠BAC，⑤正確.
故答案為：①②③⑤．