Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線BD平分∠ABC，過點A作AE∥BD，交CD的延長線于點E，過點E作EF⊥BC，交BC延長線于點F．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠ABC=45°，BC=2，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∴ABCD是菱形

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=CD=BC=2，

∵AB∥CD，AE∥BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，∠ECF=∠ABC=45°，

∴AB=DE=2，

∴CE=CD+DE=4，

∵EF⊥BC，∠ECF=45°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EF=CF= CE=2

【解析】（1）證明∠ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出結論；（2）由菱形的性質得出AB=CD=BC=2，證明四邊形ABDE是平行四邊形，∠ECF=∠ABC=45°，得出AB=DE=2，CE=CD+DE=4，在Rt△CEF中，由等腰直角三角形的性質和勾股定理即可求出EF的長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．