Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交AC邊于點F，作DE⊥AC于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°．

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B=60°．

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°．

∴∠EDC=30°．

∴∠ODE=90°．

∴DE⊥OD于點D．

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線

（2）解：如圖2，連接AD，BF，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠AFB=∠ADB=90°．

∴AF⊥BF，AD⊥BD．

∵△ABC是等邊三角形，

∴ ， ．

∵∠EDC=30°，

∴ ．∴FE=FC﹣EC=1

【解析】（1）要證切線，可連半徑，證垂直，由已知得出O、D是中點，利用中位線定理即得DE⊥OD于點D；（2）利用直徑的性質，須連BF ，求出FC，EC,進而FE=FC﹣EC=1.
【考點精析】關于本題考查的圓周角定理，需要了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能得出正確答案．