Question

【題目】如圖，點C為△ABD的外接圓上的一動點（點C不在 上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求證：BD是該外接圓的直徑；
（2）連結CD，求證： AC=BC+CD；
（3）若△ABC關于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2 ， AM2 ， BM2三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ = ，

∴∠ACB=∠ADB=45°，

∵∠ABD=45°，

∴∠BAD=90°，

∴BD是△ABD外接圓的直徑；

（2）在CD的延長線上截取DE=BC，

連接EA，

∵∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∵∠ADE+∠ADC=180°，

∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADE，

在△ABC與△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE=90°，

∵ =

∴∠ACD=∠ABD=45°，

∴△CAE是等腰直角三角形，

∴ AC=CE，

∴ AC=CD+DE=CD+BC；

（3）過點M作MF⊥MB于點M，過點A作AF⊥MA于點A，MF與AF交于點F，連接BF，

由對稱性可知：∠AMB=∠ACB=45°，

∴∠FMA=45°，

∴△AMF是等腰直角三角形，

∴AM=AF，MF= AM，

∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，

∴∠FAB=∠MAD，

在△ABF與△ADM中，

，

∴△ABF≌△ADM（SAS），

∴BF=DM，

在Rt△BMF中，

∵BM2+MF2=BF2，

∴BM2+2AM2=DM2．

【解析】（1）要證明BD是該外接圓的直徑，只需要證明∠BAD是直角即可，又因為∠ABD=45°，所以需要證明∠ADB=45°；（2）在CD延長線上截取DE=BC，連接EA，只需要證明△EAF是等腰直角三角形即可得出結論；（3）過點M作MF⊥MB于點M，過點A作AF⊥MA于點A，MF與AF交于點F，證明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF= AM，然后再證明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根據勾股定理即可得出DM2 ， AM2 ， BM2三者之間的數量關系．