Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為1，點P為正方形內一動點，若點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連結CM．分析下列結論：①AP⊥BN；②BM＝DN；③點P一定在以CM為直徑的圓上；④正方形內不存在點P使得PC＝．其中結論正確的個數是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由△PBC∽△PAM，得出∠PAM＝∠PBC，＝＝，即可推出AP⊥BN，故①正確；易證△BAP∽△BNA，得出＝，則＝，得出AM＝AN，即可得出BM＝DN，故②正確；由△PBC∽△PAM，得出∠APM＝∠BPC，推出∠CPM＝∠APB＝90°，即可得出點P一定在以CM為直徑的圓上，故③正確；以點C為圓心為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓，得出兩個圓相切，則∠APB＝90°，即AP⊥PB，得出正方形內存在點P使得PC＝，故④錯誤；即可得出結果．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，

∵△PBC∽△PAM，

∴∠PAM＝∠PBC，＝＝，

∵∠PBC+∠PBA＝90°，

∴∠PAM+∠PBA＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴AP⊥BN，故①正確；

∵∠ABP＝∠ABN，∠APB＝∠BAN＝90°，

∴△BAP∽△BNA，

∴＝，

∴＝,

∵AB＝BC，

∴AM＝AN，

∴AB﹣AM＝AD﹣AN，

∴BM＝DN，故②正確；

∵△PBC∽△PAM，

∴∠APM＝∠BPC，

∴∠CPM＝∠APB＝90°，

∴點P一定在以CM為直徑的圓上，故③正確；

以點C為圓心為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓，如圖所示：

∴CO＝＝，

∵+＝，

∴兩個圓相切，

∴∠APB＝90°，即AP⊥PB，

∵∠PBC＝∠PAB，

∴只要作∠APM＝∠BPC，就可得出△PBC∽△PAM，符合題意，

∴正方形內存在點P使得PC＝，故④錯誤；

綜上所述，結論正確的個數是3，

故選：C．