Question

（1）閱讀理解：
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題： 如圖，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍。
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE=AD，再連結BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4。
感悟：解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中。
（2）問題解決：
受到（1）的啟發，請你證明下面命題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連結EF。
①求證：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明。
（3）問題拓展：
如圖，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連結EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明。

Answer 1

解：（1）①延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG。 （或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD） ∴CF=BG，DF=DG ∵DE⊥DF ∴EF=EG 在△BEG中， BE+BG＞EG； 即BE+CF＞EF； ②若∠A=90°則∠EBC+∠FCB=90° 由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG ∴∠EBC+∠DBG=90° 即∠EBG=90° ∴在Rt△EBG中， ∴； （2）將△DCF繞點D逆時針旋轉120°得到△DBG， ∵∠C +∠ABD=180°，∠4=∠C ∴∠4+∠ABD=180° ∴點E、B、G在同一直線上 ∵∠3=∠1，∠BDC=120°，∠EDF=60° ∴∠1+∠2=60° 故∠2+∠3=60°即∠EDG=60° ∴∠EDF=∠EDG =60° ∵DE=DE，DF=DG ∴△DEG≌△DEF ∴EF=EG=BE+BG， 即EF=BE+CF。