Question

【題目】已知： 和矩形如圖①擺放（點與點重合），點， 在同一直線上， ， ， .如圖②，從圖①的位置出發，沿方向勻速運動，速度為1 ， 與交于點，與BD交于點K；同時，點從點出發，沿方向勻速運動，速度為1 .過點作，垂足為，交于點，連接，當點停止運動時， 也停止運動.設運動事件為.解答下列問題：

（1）當為何值時， ？

（2）在運動過程中，是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）在運動過程中，

①當t為 秒時，以PQ為直徑的圓與PE相切，

②當t為 秒時，以PQ的中點為圓心，以 cm為半徑的圓與BD和BC同時相切.

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=2；（3）①t=，②t=4，r=2 .

【解析】試題分析：（1）如圖1中，當PQ∥BD時， ，可得，解方程即可；

（2）假設存在，如圖2中，當0＜t＜6時，S五邊形AFPQM＝＝S△ABF＋S矩形ABCD－S△CPQ－S△MDQ，由此計算出五邊形AFPQM的面積．根據題意列出方程即可解決問題；

（3）①當以PQ為直徑的圓與PE相切時，PQ⊥PE，可證得△PFE∽△QCP，得到，然后代入含t的式子，列出方程即可求出t的值；

②設PQ的中點為O，連接BO并延長，交CD與點J，過O作OI⊥BC，過J作JK⊥BD．由過點O的圓與BC、BD都相切可證得BJ平分∠DBC，根據角平分線的性質可得JC＝JK，BK＝BC＝8，DK＝BD－BK＝2，JC＝JK＝x，在Rt△JKD中，由勾股定理求出JC的值，由O是PQ的中點，根據三角形中位線的性質用t表示OI，PI，進而表示出BI，然后由△BOI∽△BJC得，代入數據即可求出t的值，進而求出圓的半徑．

試題解析：

解：（1）若PQ∥BD，則△CPQ∽△CBD，

∴，即，

解得：t＝；

（2）由∠MQD＋∠CDB＝∠CBD＋∠CDB＝90°，

可得∠MQD＝∠CBD.

又∠MDQ＝∠C＝90°，

∴△MDQ∽△DCB，

∴，

即，

∴MD＝，

則S五邊形AFPQM＝＝S△ABF＋S矩形ABCD－S△CPQ－S△MDQ

＝AB×BF＋AB×BC－PC×CQ－MD×DQ

＝×6×(8－t)＋6×8－ (8－t)×t－××(6－t)

＝（0＜t＜6）．

假使存在t，使S五邊形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8，

則S五邊形AFPQM＝S矩形ABCD＝54，

即＝54，

整理得t2－20t＋36＝0，

解得t1＝2，t2＝18＞6（舍去），

答：當t＝2，S五邊形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8；

（3）①當以PQ為直徑的圓與PE相切時，PQ⊥PE，

∴∠EPF＋∠QPC＝90°，

又∵∠E＋∠EPF＝90°，

∴∠E＝∠QPC，

∵∠EFP＝∠C＝90°，

∴△PFE∽△QCP，

∴，

∴，

解得t＝，

即t＝秒時，以PQ為直徑的圓與PE相切；

②設PQ的中點為O，連接BO并延長，交CD與點J，過O作OI⊥BC，過J作JK⊥BD，

∵過點O的圓與BC、BD都相切，

∴BJ平分∠DBC，

∵∠C＝90°，JK⊥BD，

∴JC＝JK，BK＝BC＝8，

DK＝BD－BK＝10－8＝2，

設JC＝JK＝x，則JD＝6－x，

在Rt△JKD中，由勾股定理得：x2＋22＝(6－x)2，

解得x＝，

CP＝BC－BP＝8－t，

∵O是PQ的中點，OI⊥BC，

∴OI＝CQ＝t，PI＝CI＝ (8－t)＝4－t，

∴BI＝BP＋PI＝t＋4－t＝4＋t，

∵OI⊥BC，∠C＝90°，

∴OI∥JC，

∴△BOI∽△BJC，

∴，

即，

解得t＝4，

此時圓的半徑為OI＝t＝2．

故答案為：4，2．