Question

【題目】在平面直角坐標系中，若點和點關于軸對稱，點和點關于直線對稱，則稱點是點關于軸，直線的二次對稱點．

（1）如圖1，點．

①若點是點關于軸，直線：的二次對稱點，則點的坐標為________；

②若點是點關于軸，直線:的二次對稱點，則的值為_______；

③若點是點關于軸，直線的二次對稱點，則直線的表達式為__________；

（2）如圖2，的半徑為1.若上存在點，使得點是點關于軸，直績:的二次對稱點，且點在射線上，的取值范圍是________；

（3）是軸上的動點，的半徑為2，若上存在點，使得點是點關于軸，直線：的二次對稱點，且點在軸上，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（4，-1）；②2；③y=-x+1；（2）；（3）.

【解析】

（1）數形結合方法，直接結合圖形求出即可；

（2）當M（-1，0）時，可求得b的最小值為，當點時，可求得b的最大值為；

（3）確定t取最大值或最小值時，唯一對稱點的位置，反過來計算即可．

（1）如圖1，

①∵A（0，1）；

∴點A關于x軸的對稱點A′（0，-1），點A′（0，-1）關于直線l1：x=2的對稱點為B（4，-1），

故答案為：（4，-1），

②∵A（0，1），

∴點A關于x軸的對稱點A′（0，-1），點A′（0，-1）關于直線l2：y=2的對稱點為C（0，5），

故答案為：2，

③∵點A關于x軸的對稱點A′（0，-1），點A′（0，-1）與點D（2，1）關于直線l3對稱，連接A′D，

∴直線l3⊥A′D，且平分A′D，易求得A′D的中點坐標為（1，0），易知：AD=AA′，
∴經過（0，1），（1，0）兩點的直線即為直線l3，

∴y=-x+1；

故答案為：y=-x+1；

（2）如圖2，

當M（-1，0）時，可求得b的最小值為，

當點時，可求得b的最大值為，

∴，

故答案為：；

（3）∵E（0，t）為⊙E的圓心，半徑為2，過點E作EN′⊥l5交x軸于點N′，

設直線l5： 與x軸交點為M，則，當t取最大值時，依題意有：

，

解得：

設⊙E與y軸交點中最上方點為P，過P作PN″⊥l5交x軸于點N″，當t取最小值時有：

，

解得：t=1

∴．