Question

【題目】如圖，在ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)N也從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以相同的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作DN∥AB，交BC于點(diǎn)D，連接MD，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒().

(1)填空：____________；

(2)是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形MBDN的面積與三角形ABC的面積比為4：9，若存在求值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)為何值時(shí)，ΔMND為等腰三角形?請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 2s或4s;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由∠BAC=120°，AB=AC=6cm，可以得到ΔBAC為等腰三角形，并且，高是，通過(guò)計(jì)算即可.

（2）作AE⊥MN于E，MF⊥BC于點(diǎn)F，則可以通過(guò)求證四邊形MBDN是平行四邊形，得出AE，MN，MF的長(zhǎng)，并根據(jù)四邊形MBDN的面積與三角形ABC的面積的比為4：9，

則，化簡(jiǎn)即可得.

（3）當(dāng)ΔMND為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：①當(dāng)MD=MN時(shí)，②當(dāng)ND=MN時(shí)，③當(dāng)MD=ND時(shí)，利用（1）和（2）中的已知和已證條件求解.

解：(1) ∵∠BAC=120°，AB=AC=6cm，

∴ΔBAC為等腰三角形，

∴∠B=30°

∴

.

(2)依題意，得

AM=AN=t

∴∠AMN=∠ANM=30°

∵AB=AC

∴∠B=∠C=30°

∴∠AMN∠B

∴NN∥BC

∵ND∥BM

∴四邊形MBDN是平行四邊形(另法：證明DN∥BM，DN=BM也可)

作AE⊥MN于E

∴ME=NE=MN

∵∠AME=30°

∴AE=AM=t，ME=AE=

∴MN=2ME=

作MF⊥BC于點(diǎn)F，∠B=30°

∴MF=BM=

若四邊形MBDN的面積與三角形ABC的面積的比為4：9，

則

即：

∴，

故當(dāng)t=2s或4s時(shí)，四邊形MBON的面積與三角形ABC的面積的比為4：9.

(3)

由（1）可知：ΔBAC為等腰三角形，∠B=30°，

∵DN∥AB

∴ΔDNC為等腰三角形，

∴CN=DN=6-t，

由（2）可知：MN=，NN∥BC

∴∠MND=∠NDC=30°

①如圖示，當(dāng)MD=MN時(shí)，ΔMND為等腰三角形，

∴

即：

∴

②如圖示，當(dāng)ND=MN時(shí)，ΔMND為等腰三角形，

即：

∴

③如圖示，當(dāng)MD=ND時(shí)，ΔMND為等腰三角形，

∴

即：

∴.