Question

（2012•營口）如圖，實線部分為某月牙形公園的輪廓示意圖，它可看作是由⊙P上的一段優弧和⊙Q上的一段劣弧圍成，⊙P與⊙Q的半徑都是2km，點P在⊙Q上．
（1）求月牙形公園的面積；
（2）現要在公園內建一塊頂點都在⊙P上的直角三角形場地ABC，其中∠C=90°，求場地的最大面積．

Answer 1

分析：（1）連接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE，得出等邊三角形DPQ和等邊三角形EPQ，得出∠PQD=∠EQP=60°，根據相交兩圓的性質得出DE⊥PQ，求出FQ和DF的值，求出DE，分別求出扇形DQE的面積和三角形DEQ的面積，即可求出弓形DPE的面積，根據圓的面積和弓形的面積求出答案即可；
（2）根據∠ACB=90°得出AB是圓的直徑，是2km，要使三角形ABC的面積最大得出只要高CN最大即可，得出CN的最大值是CP（P和N重合，CN最大），代入求出即可．

解答：解：（1）連接DQ、EQ、PD、PE、PQ、DE．

由已知PD=PQ=DQ，
∴△DPQ是等邊三角形．
∴∠DQP=60°．
同理∠EQP=60°．
∴∠DQE=120°，
∵⊙P和⊙Q交于D、E，
∴QP⊥DE，DF=EF，
∵△EPQ是等邊三角形，
∴∠QDE=30°，
∴FQ=

1

2

DQ=1，
由勾股定理得：DF=

3

=EF，
即ED=2

3

，
S_弓形DPE=S_扇形QDE-S_△DQE
=

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1
=

4π

3

-

3

，
故月牙形公園的面積=4π-2（

4

3

π-

3

）=（

4

3

π﹢2

3

）km²．
答：月牙形公園的面積為（

4

3

π﹢2

3

）km²．

（2）∵∠C=90°，
∴AB是⊙P的直徑，
過點C作CN⊥AB于點N，S_△ABC=

1

2

CN•AB，
∵AB=4km，
∴S_△ABC的面積取最大值就是CN長度取最大值，即CN=CP=2km，
S_△ABC的面積最大值等于4km²，
故場地的最大面積為4km²．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，圓周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，扇形的面積，三角形的面積，相交兩圓的性質等知識點的綜合運用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．