Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP+CP′=2r，則稱P′為點P關于⊙C的反稱點，如圖為點P及其關于⊙C的反稱點P′的示意圖．特別地，當點P′與圓心C重合時，規定CP′=0．

（1）當⊙O的半徑為1時．

①分別判斷點M（2，1），N（，0），T（1，）關于⊙O的反稱點是否存在？若存在，求其坐標；

②點P在直線y=﹣x+2上，若點P關于⊙O的反稱點P′存在，且點P′不在x軸上，求點P的橫坐標的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，若線段AB上存在點P，使得點P關于⊙C的反稱點P′在⊙C的內部，求圓心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)、①、點M關于⊙O的反稱點不存在；點N關于⊙O的反稱點為N′（，0）；點T關于⊙O的反稱點為T′（0，0）；②、0＜x＜2；(2)、2≤x≤8

【解析】

試題分析：(1)、①、根據反稱點的定義求出反稱點；②、OP≤2r=2，OP2≤4，設P（x，﹣x+2），從而得出2x2﹣4x≤0，求出x的取值范圍；(2)、首先求出點A和點B的坐標，然后求出AB和OB的長度，設C(x，0)，然后分當C在OA上和當C在A點右側時兩種情況分別進行計算得出答案.

試題解析：(1)、當⊙O的半徑為1時．

①點M（2，1）關于⊙O的反稱點不存在； N（，0）關于⊙O的反稱點存在，反稱點N′（，0）；

T（1，）關于⊙O的反稱點存在，反稱點T′（0，0）；

②∵OP≤2r=2，OP2≤4，設P（x，﹣x+2）， ∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4， ∴2x2﹣4x≤0，

x（x﹣2）≤0， ∴0≤x≤2．

當x=2時，P（2，0），P′（0，0）不符合題意；

當x=0時，P（0，2），P′（0，0）不符合題意；

∴0＜x＜2

(2)、∵直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，

∴A（6，0），B（0，2），∴，∴． ∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．

設C（x，0）．

①當C在OA上時，作CH⊥AB于H，則CH≤CP≤2r=2， 所以AC≤4，

C點橫坐標x≥2（當x=2時，C點坐標（2，0），H點的反稱點H′（2，0）在圓的內部）；

②當C在A點右側時，C到線段AB的距離為AC長，AC最大值為2， 所以C點橫坐標x≤8．

綜上所述，圓心C的橫坐標的取值范圍是2≤x≤8．