Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），聯(lián)結(jié)DE，作CF⊥DE，CF與邊AB、線段DE分別交于點(diǎn)F、G；

（1）求線段CD、AD的長；

（2）設(shè)CE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）聯(lián)結(jié)EF，當(dāng)△EFG與△CDG相似時(shí)，求線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）CD=，AD=；

（2）y=﹣1，（≤x＜2）；

（3）CE=或；

【解析】

試題分析：（1）利用特殊角的三角函數(shù)可知sin∠B=，tan∠A=，由此求得線段CD、AD的長；

（2）證得△CDE∽△BFC，得出，整理得出答案即可；

（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)△EGF∽△DGC時(shí)；②當(dāng)△FEG∽△CGD時(shí)；利用相似的性質(zhì)探討得出答案即可．

試題解析：（1）在Rt△BCD中，

BC=2，∠B=90°﹣∠A=60°，

sin∠B=，

即CD=×2=，

同理tan∠A=，

AD=3；

（2）∵∠CDE=∠BFC=90°﹣∠DCF，∠ECD=∠B=60°，

∴△CDE∽△BFC，

∴，

即，

∴y=﹣1，（≤x＜2）；

（3）∠EGF=∠CGD=90°

①當(dāng)△EGF∽△DGC時(shí)，∠GEF=∠GDC，

∴EF∥DC，

∴，

解得x=；

②當(dāng)△FEG∽△CGD時(shí)，

∴∠GEF=∠GCD=∠GDF，

∴EF=DF，

又∵CF⊥DE，

∴EG=DG，

∴CD=CE=；

綜上，CE=或；