Question

【題目】圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l1，l2都經過點A(﹣6，0)，它們與y軸的正半軸分別相交于點B，C，且∠BAO=∠ACO=30

(1)求直線l1，l2的函數表達式；

(2)設P是第一象限內直線l1上一點，連接PC，有S△ACP=24．M，N分別是直線l1，l2上的動點，連接CM，MN，MP，求CM+MN+NP的最小值；

(3)如圖2，在(2)的條件下，將△ACP沿射線PA方向平移，記平移后的三角形為△A′C′P′，在平移過程中，若以A，C'，P為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的點C′的坐標．

Answer 1

【答案】(1)直線l2的解析式為，直線l1的解析式為；(2)；(3) （﹣9﹣3，3﹣）或（﹣3，5）或（3﹣3，7﹣）

【解析】

（1）求出B，C兩點坐標利用待定系數法即可解決問題．

（2）如圖1中，設點P（m，m+2），利用三角形的面積公式求出點P坐標，如圖1﹣1中，作點C關于直線AP的對稱點C′，點P關于直線AC的對稱點P′，連接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此時CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是線段P′C′的長．

（3）由題意，點C的運動軌跡是直線y＝x+6，設C′（a，a+6）．分三種情形：①當AC′＝AP＝8時．②當C′A＝C′P時．③當PA＝PC′＝8時，分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵A（﹣6，0），

∴OA＝6，

∵∠AOB＝90°，∠ACO＝∠BAO＝30°，

∴OC＝OA＝6，OB＝OA＝2，

∴C（0，6），B（O，2），

∴直線l2的解析式為y＝x+6，直線l1的解析式為y＝x+2．

（2）設點P（m， m+2），∵S△APC＝S△ABC+S△BCP，

∴BC（xP﹣xA）＝24，

∴×4×（m+6）＝24，

解得m＝6，

∴P（6，4），

如圖1﹣1中，作點C關于直線AP的對稱點C′，點P關于直線AC的對稱點P′，連接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此時CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是線段P′C′的長．

∵∠CAP＝∠PAO＝30°，

∴點C′在x軸上，AC′＝AC＝12，

∵∠CAP′＝∠PAC＝∠PAO＝30°，

∴∠P′AC′＝90°，PA＝P′A＝8，

∴P′C′＝＝＝4，

∴CM+MN+NP的最小值為4．

（3）如圖2中，

由題意，點C的運動軌跡是直線y＝x+6，設C′（a， a+6）．

①當AC′＝AP＝8時，（a+6）2+（a+6）2＝（8）2，

解得a＝﹣9﹣3或﹣9+3（舍棄），

∴C′（﹣9﹣3，3﹣）．

②當C′A＝C′P時，（a+6）2+（a+6）2＝（a﹣6）2+（a+6﹣4）2，

解得a＝﹣3，

∴C′（﹣3，5）．

③當PA＝PC′＝8時，（a﹣6）2+（a+6﹣4）2＝（8）2，

解得a＝3﹣3或3+3（舍棄）

∴C′（3﹣3，7﹣）

綜上所述，滿足條件的點C′的坐標為（﹣9﹣3，3﹣）或（﹣3，5）或（3﹣3，7﹣）．

【點晴】

一次函數綜合題，考查了待定系數法、軸對稱變換、等腰三角形的判定和性質等知識，解題關鍵是學會利用轉化的思想思考問題，學會用分類討論的思想解決問題，學會構建方程解決問題．