Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，OQ⊥BC于點Q，過點B作半圓O的切線，交OQ的延長線于點P，PA交半圓O于R，則下列等式中正確的是（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：（1）連接AQ，如圖1，

∵BP與半圓O切于點B，AB是半圓O的直徑，
∴∠ABP=∠ACB=90°．
∵OQ⊥BC，
∴∠OQB=90°．
∴∠OQB=∠OBP=90°．
又∵∠BOQ=∠POB，
∴△OQB∽△OBP．
∴ ．
∵OA=OB，
∴ ．
又∵∠AOQ=∠POA，
∴△OAQ∽△OPA．
∴∠OAQ=∠APO．
∵∠OQB=∠ACB=90°，
∴AC∥OP．
∴∠CAP=∠APO．
∴∠CAP=∠OAQ．
∴∠CAQ=∠BAP．
∵∠ACQ=∠ABP=90°，
∴△ACQ∽△ABP．
∴ ．
故A正確．
2）如圖1，

∵△OBP∽△OQB，
∴ ．
∴ ．
∵AQ≠OP，
∴ ．
故C不正確．
3）連接OR，如圖2所示．
∵OQ⊥BC，
∴BQ=CQ．
∵AO=BO，
∴OQ= AC．
∵OR= AB．
∴ = ， =2．
∴ ≠ ．
∴ ．
故B不正確．
4）如圖2，

∵ ，
且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，
∴ ．
∵AB≠AP，
∴ ．
故D不正確．
故選：A．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行線的判定與性質(由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質)，還要掌握三角形中位線定理(連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半)的相關知識才是答題的關鍵．