Question

【題目】如圖1，四邊形是正方形，動點從點出發，以cm/s的速度沿邊、、勻速運動到終止；動點從出發，以cm/s的速度沿邊勻速運動到終止，若、兩點同時出發，運動時間為s，△的面積為cm2. 與之間函數關系的圖像如圖所示.

（1）求圖中線段所表示的函數關系式；

（2）當動點在邊運動的過程中，若以、、為頂點的三角形是等腰三角形，求的值；

（3）是否存在這樣的，使將正方形的面積恰好分成的兩部分？若存在，求出這樣的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）段的函數表達式為；

（2）當或時，以、、為頂點的三角形是等腰三角形；

（3）存在和，使將正方形的面積恰好分成的兩部分．

【解析】試題分析：（1）函數圖象中線段FG，表示點Q運動至終點D之后停止運動，而點P在線段CD上繼續運動的情形．如圖2所示，求出S的表達式，并確定t的取值范圍；（2）分類討論，列方程求解即可；

（3）當點P在AB上運動時，PQ將正方形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如圖3所示，求出t的值；當點P在BC上運動時，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如圖4所示，求出t的值．

試題解析：（1）由題意，可知題圖2中點表示點運動至點時的情形，所用時間為s，則正方形的邊長cm．點運動至點所需時間為： s，點運動至終點所需時間為s．

因此在段內，點運動至點停止運動，點在線段上繼續運動，且時間的取值范圍為．

故，

∴段的函數表達式為．

（2）①若，則，顯然不成立

②若，則，解得， （舍去）

③若，則，解得， （舍去）

綜上所述，當或時，以、、為頂點的三角形是等腰三角形

（3）假設存在這樣的，使將正方形的面積恰好分成的兩部分.易得正方形的面積為．

①當點在上運動時， 將正方形分成△和五邊形兩部分，如圖所示，根據題意，得，解得；

圖3 圖4

②當點在上運動時， 將正方形分為梯形和梯形兩部分，如圖所示．根據題意，得，解得．

∴存在和，使將正方形的面積恰好分成的兩部分．