Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，AB，DC的延長線交于點E．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若BE=3，CE=3，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用切線的性質得CO⊥CD，則AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，從而得到∠DAC=∠CAO；

（2）設⊙O半徑為r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用銳角三角函數的定義計算出∠COE=60°，然后根據扇形的面積公式，利用S陰影=S△COE﹣S扇形COB進行計算即可．

解：（1）連接OC，如圖，

∵CD與⊙O相切于點E，

∴CO⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD∥CO，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）設⊙O半徑為r，

在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，

∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，

∴OC=3，OE=6，

∴cos∠COE=，

∴∠COE=60°，

∴S陰影=S△COE﹣S扇形COB=33﹣．