Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2-2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求A、B、C的坐標；

（2）設點H是第二象限內拋物線上的一點，且△HAB的面積是6，求點H的坐標；

（3）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積．

Answer 1

【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）；（2）H（-2，3）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）通過解析式即可得出C點坐標，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標．

（2）根據AB的長和三角形面積求得H的縱坐標為3，代入解析式即可求得橫坐標；

（3）設M點橫坐標為m，則PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周長d=-2m2-8m+2，將-2m2-8m+2配方，根據二次函數的性質，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．

試題解析：（1）由拋物線y=-x2-2x+3可知，C（0，3），

令y=0，則0=-x2-2x+3，解得x=-3或x=1，

∴A（-3，0），B（1，0）．

（2）∵A（-3，0），B（1，0）．

∴AB=4，

∵△HAB的面積是6，點H是第二象限內拋物線上的一點，

∴H的縱坐標為3，

把y=3代入y=-x2-2x+3得3=-x2-2x+3，解得x1=0，x2=-2，

∴H（-2，3）；

（3）由拋物線y=-x2-2x+3可知，對稱軸為x=-1，

設M點的橫坐標為m，則PM=-m2-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（-m2-2m+3-2m-2）×2=-2m2-8m+2=-2（m+2）2+10，

∴當m=-2時矩形的周長最大．

∵A（-3，0），C（0，3），設直線AC解析式為y=kx+b，

則解得：，

∴解析式y=x+3，當x=-2時，則E（-2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=×AM×EM=．