Question

如圖，已知四邊形ABCD的外接圓⊙O的半徑為2，對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)為E，AE=EC，AB=

2

AE，且BD=2

3

，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：先求△ABD的面積，在求證△ABD與△BCD的面積相等，根據(jù)四邊形ABCD面積為△ABD和△BCD面積之和求解．

解答：解：∵AE=EC，AB=

2

AE，
∴AB²=2AE²=AE•AC，
∴AB：AC=AE：AB，
又∠EAB=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
從而AB=AD．
連接AO，交BD于H，連接OB，
∵AB=AD，
∴AO⊥BD，
∴BH=HD，
BO=2，BH=

3

，
則BH=HD=

3

．
∴OH=

OB2-BH2

=

4-3

=1，AH=OA-OH=2-1=1．
∴S_△ABD=

1

2

BD•AH=

1

2

×2

3

×1=

3

，
∵E是AC的中點(diǎn)，∴S_△ABE=S_△BCE，
S_△ADE=S_△CDE，∴S_△ABD=S_△BCD，
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△ABD=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的靈活應(yīng)用，考查了三角形面積計(jì)算方法，本題中求證△ABD面積和求證△BCD面積與△ABD面積相等是解題的關(guān)鍵．