Question

【題目】如圖所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，則下面的結論： ①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE ，
其中正確結論有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等邊三角形，∴①正確；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②錯誤；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DOC=60°，DC=AB，
∵△DOC是等邊三角形，
∴DC=OD，
∴BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO= （180°﹣∠OBE）=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正確；
∵OA=OC，
∴根據等底等高的三角形面積相等得出S△AOE=SCOE ， ∴④正確；
故選C．

根據矩形性質求出OD=OC，根據角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等邊三角形，求出AC=2AB，即可判斷②，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根據等底等高的三角形面積相等得出S△AOE=SCOE ．