Question

仔細想一想，聰明的你一定能完成下列問題．
閱讀下列材料：
∵

1

2

(1-

1

3

)=

1

1×3

，

1

2

(

1

3

-

1

5

)=

1

3×5

，

1

2

(

1

5

-

1

7

)=

1

5×7

，…，

1

2

(

1

99

-

1

101

)=

1

99×101

，
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

99×101

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

99

-

1

101

)=

1

2

(1-

1

101

)=

50

101

．
回答下列問題：
（1）在和項

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中第7項是

 

，第n項是

 

；
（2）你能運用類似方法求出

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

…+

1

2006×2008

的值嗎？請你試一試；
（3）若α_n、β_n（其中n為不小于3的正整數）滿足α_n+β_n=-（2n+1），α_n•β_n=n²，請你運用上述知識求

1

(α3+1)(β3+1)

+

1

(α4+1)(β4+1)

+…+

1

(α100+1)(β100+1)

的值．

Answer 1

分析：（1）觀察前邊式子的規律，可以看到：分母是連續的兩個奇數相乘．對應的第n個式子的分母是（2n-1）（2n+1）；
（2）觀察分母的規律，發現分母正好是兩個連續的偶數，相差是2．所以拆開的時候，相當于擴大了2倍，應再除以2．然后運用抵消的規律，進行計算；
（3）運用整式乘法計算分母，發現：對應的分母是n²-（2n+1）+1=n（n-2），運用上述方法就可計算．

解答：解：（1）根據題意，是連續奇數列，
n=7時，2n-1=7，所以第7項是

1

13×15

，第n項是

1

(2n-1)(2n+1)

；（2分）

（2）原式=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2006

-

1

2008

）
=

1

2

×（

1

2

-

1

2008

）
=

1

2

×

1003

2008

=

1003

4016

；（2分）

（3）原式=

1

3×1

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

98×100

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

98

-

1

100

)
=

1

2

（1-

1

100

）
=

99

200

．（4分）

點評：熟練運用分式的拆分進行計算，尤其注意（3）小題綜合了上述兩種情況的規律，分別搭配計算．