Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=8，∠BAD=60°，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，作EG∥AD交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥AD交AD（或AD的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)H，得到矩形EFHG，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒

（1）求線段EF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）求點(diǎn)H與點(diǎn)D重合時(shí)t的值；

（3）設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）矩形EFHG的對(duì)角線EH與FG相交于點(diǎn)O′，當(dāng)OO′∥AD時(shí)，t的值為 ；當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，t的值為 ．

Answer 1

【答案】（1）EF=t；（2）t=；（3）；（4）t=4；t=3．

【解析】

試題分析：（1）由題意知：AE=2t，由銳角三角函數(shù)即可得出EF=t；

（2）當(dāng)H與D重合時(shí)，F(xiàn)H=GH=8﹣t，由菱形的性質(zhì)和EG∥AD可知，AE=EG，解得t=；

（3）矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形需要分以下兩種情況討論：①當(dāng)H在線段AD上，此時(shí)重合的部分為矩形EFHG；②當(dāng)H在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，重合的部分為五邊形；

（4）當(dāng)OO′∥AD時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與B重合；當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，EF與OA相交于點(diǎn)N，然后分別求出O′M、O′F、FM，利用勾股定理列出方程即可求得t的值．

試題解析：（1）由題意知：AE=2t，0≤t≤4，∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，∴sin∠BAD=，∴EF=t；

（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，∴AF=t，當(dāng)H與D重合時(shí)，此時(shí)FH=8﹣t，∴GE=8﹣t，∵EG∥AD，∴∠EGA=30°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC=30°，∴∠BAC=∠EGA=30°，∴AE=EG，∴2t=8﹣t，∴t=；

（3）當(dāng)0≤t≤時(shí)，此時(shí)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG，∴由（2）可知：AE=EG=2t，∴S=EFEG=t2t=；

當(dāng)＜t≤4時(shí)，如圖1，設(shè)CD與HG交于點(diǎn)I，此時(shí)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為五邊形FEGID，∵AE=2t，∴AF=t，EF=t，∴DF=8﹣t，∵AE=EG=FH=2t，∴DH=2t﹣（8﹣t）=3t﹣8，∵∠HDI=∠BAD=60°，∴tan∠HDI=，∴HI=DH，∴S=EFEG﹣DHHI==；

綜上所述：；

（4）當(dāng)OO′∥AD時(shí)，如圖2，此時(shí)點(diǎn)E與B重合，∴t=4；

當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，如圖3，過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，EF與OA相交于點(diǎn)N，由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t，∴FN=t，F(xiàn)M=t，∵O′O⊥AD，O′是FG的中點(diǎn)，∴O′O是△FNG的中位線，∴O′O=FN=t，∵AB=8，∴由勾股定理可求得：OA=，∴OM=，∴O′M=，∵FE=t，EG=2t，∴由勾股定理可求得：，∴由矩形的性質(zhì)可知：，∵由勾股定理可知：，∴，∴t=3或t=﹣6（舍去）．

故答案為：t=4；t=3．