Question

【題目】已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E是BC上一點，連接AE

（1）如圖1，當AE平分∠BAC時，EH⊥AB于H，△EHB的周長為10m，求AB的長；

（2）如圖2，延長BC至D，使DC＝BC，將線段AE繞點A順時針旋轉90°得線段AF，連接DF，過點B作BG⊥BC，交FC的延長線于點G，求證：BG＝BE．

Answer 1

【答案】（1）AB＝10m；（2）見解析.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠B=45°，根據角平分線的性質得到CE=EH=BH，根據全等三角形的性質得到AH=AC，于是得到結論；

（2）先連接AD，依據AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF=BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF=BG，進而得到BG=BE．

解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠B＝45°，

∵AE平分∠BAC時，EH⊥AB于H，

∴CE＝EH＝BH，

在Rt△ACE與Rt△AHE中，

，

∴Rt△ACE與Rt△AHE（HL），

∴AH＝AC，

∴AH＝BC，

∵△EHB的周長為10m，

∴AB＝AH+BH＝BC+BH＝10m；

（2）如圖所示，連接AD，

線段AE繞點A順時針旋轉90°得線段AF，則AE＝AF，∠EAF＝90°，

∵AC⊥BD，DC＝BC，

∴AD＝AB，∠ABE＝∠ADC＝45°，

∴∠BAD＝90°＝∠EAF，

∴∠BAE＝∠DAF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴DF＝BE，∠ADF＝∠ABE＝45°，

∴∠FDC＝90°，

∵BG⊥BC，

∴∠CBG＝∠CDF＝90°，

又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCF，

∴△BCG≌△DCF（ASA），

∴DF＝BG，

∴BG＝BE．