Question

請閱讀下面材料：
若A（x₁，y₀），B（x₂，y₀） 是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，證明直線x=

x1+x2

2

為此拋物線的對稱軸．
有一種方法證明如下：
①②
證明：∵A（x₁，y₀），B（x₂，y₀） 是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點
∴

y0=a x 2 1 +bx1+c① y0=a x 2 2 +bx2+c②

且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴x1+x2=-

b

a

又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-

b

2a

，
∴直線x=

x1+x2

2

為此拋物線的對稱軸．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，直線x=

x1+x2

2

為該拋物線的對稱軸，那么自變量取x₁，x₂時函數值相等嗎？寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程；
（2）利用以上結論解答下面問題：
已知二次函數y=x²+bx-1當x=4時的函數值與x=2007時的函數值相等，求x=2012時的函數值．

Answer 1

分析：（1）由題意得出

y0=a x 2 1 +bx1+c① y0=a x 2 2 +bx2+c②

且x₁≠x₂，再由直線的對稱軸得出結論：自變量取x₁，x₂時函數值相等．
（2）由題意求得b，得出二次函數的解析式為y=x²-2011x-1．再由（1）得，當x=2012時的函數值為2011．

解答：解：（1）結論：自變量取x₁，x₂時函數值相等．
證明：∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為拋物線y=ax²+bx+c上不同的兩點，
由題意得

y1=ax12+bx1+c  ① y2=ax22+bx2+c  ②

且x₁≠x₂
①-②，得y₁-y₂=a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]．
∵直線x=

x1+x2

2

是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸，
∴x=

x1+x2

2

=-

b

2a

．
∴x1+x2=-

b

a

．
∴y₁-y₂=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，即y₁=y₂；

（2）∵二次函數y=x²+bx-1當x=4時的函數值與x=2007時的函數值相等，
∴由閱讀材料可知二次函數y=x²+bx-1的對稱軸為直線x=

2011

2

．
∴-

b

2

=

2011

2

，b=-2011．
∴二次函數的解析式為y=x²-2011x-1．
∵

2011

2

=

2012+(-1)

2

，
由（1）知，當x=2012的函數值與x=-1時的函數值相等．
∵當x=-1時的函數值為（-1）²-2011×（-1）-1=2011，
∴當x=2012時的函數值為2011．

點評：本題是一道閱讀題，考查了二次函數的性質和圖象上點的特點，綜合性較強，難度較大．