Question

【題目】已知二次函數y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1（m為常數），函數圖像的頂點為C．

（1）若該函數的圖像恰好經過坐標原點，求點C的坐標；

（2）該函數的圖像與x軸分別交于點A、B，若以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）m的值為1或－1

【解析】

（1）把（0，0）代入y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1可求出m的值，可得二次函數解析式，配方即可得出C點坐標；（2）令y=0，可用m表示出x1和x2，即可表示出AB的距離，根據二次函數解析式可用含m的代數式表示頂點C的坐標，根據以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形可得關于m的方程，解方程求出m的值即可.

（1）解：∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1的圖像經過點（0，0）

∴2m＋1＝0，

∴m＝－，

當m＝－時，y＝x2－x＝(x－)2－，

∴頂點C的坐標(，－).

（2）解：當y＝0時x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝0

∴x1＝2m＋1，x2＝1，

∴AB＝，

∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝(x－m－1)2－m2，

∴頂點C的坐標(m＋1，－m2)，

∵以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，

∴2m2＝，

當2m2＝2m時，m1＝0，m2＝1，

當2m2＝－2m時，m1＝0，m2＝－1，

當m＝0時，AB＝0（舍）

答：m的值為1或－1.