Question

【題目】如圖①，C為線段BE上的一點，分別以BC和CE為邊在BE的同側作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分別是線段AF和GD的中點，連接MN

（1）線段MN和GD的數量關系是 ，位置關系是 ；

（2）將圖①中的正方形CEFG繞點C逆時針旋轉90°，其他條件不變，如圖②，（1）的結論是否成立？說明理由；

（3）已知BC=7，CE=3，將圖①中的正方形CEFG繞點C旋轉一周，其他條件不變，直接寫出MN的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1） MN=DG；MN⊥DG；（2）成立，理由見解析；（3）5，2.

【解析】

試題分析：（1）連接FN并延長，與AD交于點S，如圖①．易證明△SDN≌△FGN，則有DS=GF，SN=FN．然后運用三角形中位線定理即可解決問題；

（2）過點M作MT⊥DC于T，過點M作MR⊥BC于R，連接FC、MD、MG，如圖②，根據平行線分線段成比例即可得BR=GR=BG，DT=ET=DE，根據梯形中位線定理可得MR=（FG+AB），MT=（EF+AD），從而可得MR=MT，RG=TD，由此可得△MRG≌△MTD，則有MG=MD，∠RMG=∠TMD，則有∠RMT=∠GMD，進而可證得△DMG是直角三角形，然后根據等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可解決問題；

（3）連接GM到點P，使得PM=GM，延長GF、AD交于點Q，連接AP，DP，DM如圖③，易證△APD≌△CGD，則有PD=DG，根據等腰三角形的性質可得DM⊥PG，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MN=DG，要求MN的最大值和最小值，只需求DG的最大值和最小值，由GC=CE=3可知點G在以點C為圓心，3為半徑的圓上，再由DC=BC=7，就可求出DG的最大值和最小值.

試題解析：（1）連接FN并延長，與AD交于點S，如圖①．

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形，

∴∠D=90°，AD=DC，GC=GF，AD∥BE∥GF，

∴∠DSN=∠GFN．

在△SDN和△FGN中，

，

∴△SDN≌△FGN，

∴DS=GF，SN=FN．

∵AM=FM，

∴MN∥AS，MN=AS，

∴∠MNG=∠D=90°，

MN=（AD-DS）=（DC-GF）=（DC-GC）=DG．

（2）（1）的結論仍然成立．

理由：過點M作MT⊥DC于T，過點M作MR⊥BC于R，連接FC、MD、MG，如圖②，

則A、F、C共線，MR∥FG∥AB，MT∥EF∥AD．

∵AM=FM，

∴BR=GR=BG，DT=ET=DE，

∴MR=（FG+AB），MT=（EF+AD）．

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形，

∴FG=GC=EC=EF，AB=BC=DC=AD，

∴MR=MT，RG=TD．

在△MRG和△MTD中，

，

∴△MRG≌△MTD，

∴MG=MD，∠RMG=∠TMD，

∴∠RMT=∠GMD．

∵∠MRC=∠RCT=∠MTC=90°，

∴四邊形MRCT是矩形，

∴∠RMT=90°，

∴∠GMD=90°．

∵MG=MD，∠GMD=90°，DN=GN，

∴MN⊥DG，MN=DG．

（3）連接GM到點P，使得PM=GM，延長GF、AD交于點Q，連接AP，DP，DM如圖③，

在△AMP和△FMG中，

，

∴△AMP≌△FMG，

∴AP=FG，∠APM=∠FGM，

∴AP∥GF，

∴∠PAQ=∠Q，

∵∠DOG=∠ODQ+∠Q=∠OGC+∠GCO，

∠ODQ=∠OGC=90°，

∴∠Q=∠GCO，

∴∠PAQ=∠GCO．

∵四邊形ABCD和四邊形EFGC都是正方形，

∴DA=DC，GF=GC，

∴AP=CG．

在△APD和△CGD中，

，

∴△APD≌△CGD，

∴PD=DG．

∵PM=GM，

∴DM⊥PG．

∵DN=GN，

∴MN=DG．

∵GC=CE=3，

∴點G在以點C為圓心，3為半徑的圓上，

∵DC=BC=7，

∴DG的最大值為7+3=10，最小值為7-3=4，

∴MN的最大值為5，最小值為2．