Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-4ax+c(a≠0)與y軸交于點A，將點A向右平移2個單位長度，得到點B.直線與x軸，y軸分別交于點C，D.

（1）求拋物線的對稱軸.

（2）若點A與點D關于x軸對稱.

①求點B的坐標.

②若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖象，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）x=2；（2）點B坐標為（2，3）；②a>0或a≤.

【解析】

（1）根據二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸方程為x=即可的答案；

（2）①根據直線與x軸，y軸分別交于點C，D可得C、D兩點坐標，根據關于x軸對稱的點的坐標特征可得A點坐標，根據平移性質即可得B點坐標；

②分a>0與a<0兩種情況，結合圖象，根據二次函數的性質即可得答案.

（1）∵拋物線的解析式為y=ax2-4ax+c(a≠0)，

∴拋物線的對稱軸為x==2，

（2）①∵直線解析式為，

∴x=0時，y=-3，y=0時，x=5，

∴C點坐標為（5，0），D點坐標為（0，-3），

∵點A于點D關于x軸對稱，

∴點A坐標為（0，3），

∵將點A向右平移2個單位長度，得到點B，

∴點B坐標為（2，3）.

②如圖，當a>0時，拋物線開口向上，

∵點A（0，3），對稱軸為x=2，

∴拋物線經過點A關于x=2的對稱點（4，3），

∴拋物線與線段BC都有交點，

當a<0時，拋物線的開口向下，

∵點A（0，3），

∴c=3，

∴拋物線解析式為y=ax2-4ax+3，

當x=5時，25a-20a+3=0，

解得：a=，

∵越大，拋物線的開口越小，

∴a≤.

綜上所述：a的取值范圍為a>0或a≤.