Question

把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ABCD以D為頂點作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，當∠MDN繞點D旋轉時，AM、MN、BN三條線段之間有何種數量關系？證明你的結論；
（2）當∠ACD+∠MDN=90°時，AM、MN、BN三條線段之間有何數量關系？證明你的結論；
（3）如圖③，在（2）的結論下，若將M、N分改在CA、BC的延長上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數量關系（直接寫出結論，不必證明）

Answer 1

分析：（1）延長CB到E，使BE=AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，證△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；
（2）延長CB到E，使BE=AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，證△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；
（3）在CB截取BE=AM，連接DE，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，證△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可．

解答：
（1）AM+BN=MN，
證明：延長CB到E，使BE=AM，
∵∠A=∠CBD=90°，
∴∠A=∠EBD=90°，
在△DAM和△DBE中

AM=BE ∠A=∠DBE AD=BD

，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE=∠MDA，DM=DE，
∵∠MDN=∠ADC=60°，
∴∠ADM=∠NDC，
∴∠BDE=∠NDC，
∴∠MDN=∠NDE，
在△MDN和△EDN中

DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN

，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=NE，
∵NE=BE+BN=AM+BN，
∴AM+BN=MN．

（2）AM+BN=MN，
證明：延長CB到E，使BE=AM，連接DE，
∵∠A=∠CBD=90°，
∴∠A=∠DBE=90°，
∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，
∴∠MDN=∠ADC，
∵∠MDN=∠BDC，
∴∠MDA=∠CDN，∠CDM=∠NDB，
在△DAM和△DBE中

AM=BE ∠A=∠DBE AD=BD

，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE=∠MDA=∠CDN，DM=DE，
∵∠MDN+∠ACD=90°，∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠NDM=∠ADC=∠CDB，
∴∠ADM=∠CDN=∠BDE，
∵∠CDM=∠NDB
∴∠MDN=∠NDE，
在△MDN和△EDN中

DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN

，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=NE，
∵NE=BE+BN=AM+BN，
∴AM+BN=MN．

（3）BN-AM=MN，
證明：在CB截取BE=AM，連接DE，
∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，
∴∠MDN=∠ADC，
∵∠ADN=∠ADN，
∴∠MDA=∠CDN，
∵∠B=∠CAD=90°，
∴∠B=∠DAM=90°，
在△DAM和△DBE中

AM=BE ∠DAM=∠DBE AD=BD

，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE=∠ADM=∠CDN，DM=DE，
∵∠ADC=∠BDC=∠MDN，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MDN和△EDN中

DM=DE ∠MDN=∠NDE DN=DN

，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=NE，
∵NE=BN-BE=BN-AM，
∴BN-AM=MN．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用性質進行推理的能力，運用了類比推理的方法，題目比較典型，但有一定的難度．