Question

【題目】如圖，一個三角形的紙片ABC，其中∠A=∠C,

（1）把△ABC紙片按 (如圖1) 所示折疊，使點A落在BC邊上的點F處，DE是折痕．說明 BC∥DF；

（2）把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED內時 (如圖2)，探索∠C與∠1+∠2之間的大小關系，并說明理由；

（3）當點A落在四邊形BCED外時 (如圖3)，探索∠C與∠1、∠2之間的大小關系.(直接寫出結論)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠1＋∠2＝2∠C；（3）∠1－∠2＝2∠C.

【解析】

（1）根據折疊的性質得∠DFE=∠A，由已知得∠A=∠C，于是得到∠DFE=∠C，即可得到結論；
（2）先根據四邊形的內角和等于360°得出∠A+∠A′=∠1+∠2，再由圖形翻折變換的性質即可得出結論；
（3）∠A′ED=∠AED（設為α），∠A′DE=∠ADE（設為β），于是得到∠2+2α=180°，∠1=β-∠BDE=β-（∠A+α），推出∠2-∠1=180°-（α+β）+∠A，根據三角形的內角和得到∠A=180°-（α+β），證得∠2-∠1=2∠A，于是得到結論．

解：(1) 由折疊知∠A=∠DFE,

∵∠A=∠C，

∴∠DFE=∠C，

∴BC∥DF；

(2)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：

∵∠1＋2∠AED＝180°， ∠2＋2∠ADE＝180°，

∴∠1＋∠2＋2(∠ADE＋∠AED)＝360°.

∵∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，

∴∠ADE＋∠AED＝180°－∠A，

∴∠1＋∠2＋2(180°－A)＝360°，

即∠1＋∠2＝2∠C.

(3)∠1－∠2＝2∠A.

∵2∠AED＋∠1＝180°，2∠ADE－∠2＝180°，

∴2(∠ADE＋∠AED)＋∠1－∠2＝360°.

∵∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，

∴∠ADE＋∠AED＝180°－∠A，

∴∠1－∠2＋2(180°－∠A)＝360°，

即∠1－∠2＝2∠C.