Question

（2003•泰州）已知：如圖，⊙O與⊙O₁內切于點A，AO是⊙O₁的直徑，⊙O的弦AC交⊙O₁于點B，弦DF經過點B且垂直于OC，垂足為點E．
（1）求證：DF與⊙O₁相切；
（2）求證：2AB²=AD•AF；
（3）若AB=，cos∠DBA=，求AF和AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可連接O₁B，證O₁B⊥DF即可，由于OC⊥DF，因此只需證O₁B∥OC即可．可通過不同圓中圓的半徑對應的角相等來求得，由此可得證．
（2）本題可通過證△ABD和△AFC相似來求解．連接OB，則OB⊥AC，因此可根據垂徑定理得出AC=2AB，那么通過兩三角形相似得出的AD：AC=AB：AF，即可得出所求的結論．
（3）本題可先求出BF的長，然后根據相似三角形FCB和ACF得出的CF ²=CB•CA，求出CF的長，還是這兩個相似三角形，根據CF：AF=BC：CF求出AF的長，進而可根據（2）的結果求出AD的長．
解答：（1）證明：連接O₁B，
∵O₁B=O₁A，
∴∠O₁AB=∠O₁BA．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠O₁BA=∠OCA．
∴O₁B∥OC．
∵OC⊥DF，
∴O₁B⊥DF．
∴DF與⊙O₁相切．

（2）證明：連接OB，則OB⊥AC，
∴AC=2AB=2BC．
∵OC⊥DF，
∴弧DC=弧CF．
∴∠CAD=∠CAF．
∵∠D=∠ACF，
∴△ABD∽△AFC．
∴．
∵AC=2AB，
∴2AB²=AD•AF．

（3）解：直角△BEC中，BC=AB=2，cos∠CBE=cos∠DBA==，
∴BE=2，CE=4．
∵直角△OBE中，∠BOE=∠CBE=90°-∠BCO，BE=2，
∴BO=，OE=1．
∴AO=OC=OE+EC=5．
連接OF，直角△OEF中，OF=OA=5，OE=1，根據勾股定理有EF=2，
∴BF=2+2．
∵弧DC=弧CF，
∴∠CAF=∠BFC．
∴△ACF∽△FCB．
∴CF²=CB•CA=2AB²=40．
∴CF=2．
∴．
即=，
∴AF=4+2．
由（2）知：2AB²=AD•AF．
∴AD=4-2．
點評：本題主要考查了切線的判定、垂徑定理、相似三角形的判定和性質等知識點，在（3）中通過相似三角形求出CF、AF的長是解題的關鍵．