Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，直徑AD交BC于點E，延長AD至點F，使DF＝2OD，連接FC并延長交過點A的切線于點G，且滿足AG∥BC，連接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．

（1）求證：∠COD＝∠BAC；

（2）求⊙O的半徑OC；

（3）求證：CF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由AG是⊙O的切線得到∠GAF＝90°，再由AG∥BC得出AE⊥BC，符合垂徑定理，得出∠BAC＝2∠EAC，由圓周角定理得到∠COE＝2∠CAE，于是可證；

（2）由題意可得＝，設OE＝x，則OC＝3x，根據勾股定理列方程x2+32＝9x2，解出即可；

（3）由題意可證明，再證△COE∽△FOC，于是可得∠OCF＝∠DEC＝90°，故可證CF是⊙O的切線．

解：（1）∵AG是⊙O的切線，AD是⊙O的直徑，

∴∠GAF＝90°，

∵AG∥BC，

∴AE⊥BC，

∴，

∴∠BAC＝2∠EAC，

∵∠COE＝2∠CAE，

∴∠COD＝∠BAC；

（2）∵∠COD＝∠BAC，

∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，

∴設OE＝x，OC＝3x，

∵BC＝6，

∴CE＝3，

∵CE⊥AD，

∴OE2+CE2＝OC2，

∴x2+32＝9x2，

∴x＝（負值舍去），

∴OC＝3x＝，

∴⊙O的半徑OC為；

（3）∵DF＝2OD，

∴OF＝3OD＝3OC，

∴，

∵∠COE＝∠FOC，

∴△COE∽△FOC，

∴∠OCF＝∠DEC＝90°，

∴CF是⊙O的切線．