Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．

（1）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（2）當△AOD是等腰三角形時，求α的度數．

Answer 1

【答案】（1）△OCD是等邊三角形，理由見解析；（2）當α為130°、100°、160°時，△AOD是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）首先根據已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質可以求出∠ADO的度數，由此即可判定△AOD的形狀；

（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質即可求解．

解：（1）∵△OCD是等邊三角形，

∴OC=CD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，

∵∠ACB=∠OCD=60°，

∴∠BCO=∠ACD，

在△BOC與△ADC中，

，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠BOC=∠ADC，

∵∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，

∴∠ADO=150°﹣60°=90°，

∴△ADO是直角三角形；

（2）∵∠COB=∠CAD=α，∠AOD=200°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∠OAD=40°，

①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∴200°﹣α=α﹣60°，

∴α=130°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，

∴α﹣60°=40°，

∴α=100°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，

∴200°﹣α=40°，

∴α=160°．

所以當α為130°、100°、160°時，△AOD是等腰三角形．