Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，點M是CE的中點，連接BM．
（1）如圖①，點D在AB上，連接DM，并延長DM交BC于點N，可探究得出BD與BM的數量關系為______；
（2）如圖②，點D不在AB上，（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．

Answer 1

（1）∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴ED∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中

∠DEM=∠NCM EM=CM ∠EMD=∠NMC

∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，
∴BM⊥DM，∠DBM=

1

2

∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD為等腰直角三角形．
∴BD=

2

BM，

（2）結論成立．
證明：過點C作CF∥ED，與DM的延長線交于點F，連接BF，
可證得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于點N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可證得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵點M是DF的中點，
則△BMD是等腰直角三角形，
∴BD=

2

BM．