Question

【題目】如圖所示，在ΔABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F。

①求證：OE＝OF；

②當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并請說明理由。

③當點O運動到AC邊的中點時，在ΔABC中添加一個什么條件后，四邊形AECF是正方形。（只需寫出一個條件，不必證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形；（3）添加∠ACB=90°

【解析】

試題分析：（1）根據角平分線的性質可證明；

（2）根據角平分線的性質可判斷出結果；

（3）在（2）的基礎上添加一個角是直角即可得到矩形。

試題解析：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，

∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理：OF=OC，

∴OE=OF.

（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形；

理由：如圖，AO=CO，EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形；

∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理：∠ACF=∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACG)= ×180°=90°

∴四邊形AECF是平行矩形；

（3）添加∠ACB=90°.