Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D．過點D作EF⊥AC，垂足為E，且交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD＝4.

【解析】

（1）連接OD，AD，根據AB是⊙O的直徑可得AD⊥BC，再根據等腰三角形三線合一的性質得到BD＝CD，進一步根據三角形的中位線定理可得OD∥AC，進而推得OD⊥EF，問題即得解決；

（2）根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAD＝30°，再在直角三角形ABD中利用30°的角的性質即可求得結果.

解：（1）證明：連接OD，AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵OA＝OB，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠BAC＝30°，

∴BD＝AB＝＝4．