Question

我們規(guī)定：形如 的函數(shù)叫做“奇特函數(shù)”.當(dāng)時，“奇特函數(shù)”就是反比例函數(shù).
（1） 若矩形的兩邊長分別是2和3，當(dāng)這兩邊長分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8 ，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷這個函數(shù)是否為“奇特函數(shù)”；
（2） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A，C的坐標(biāo)分別為（9，0）、（0，3）．點D是OA的中點，連結(jié)OB，CD交于點E，“奇特函數(shù)”的圖象經(jīng)過B，E兩點.
① 求這個“奇特函數(shù)”的解析式；
② 把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個單位，再向上平移    個單位就可得到①中所得“奇特函數(shù)”的圖象.過線段BE中點M的一條直線l與這個“奇特函數(shù)”的圖象交于P，Q兩點，若以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1），是 “奇特函數(shù)”；（2）①；②或或或.

解析試題分析：（1）根據(jù)題意列式并化為，根據(jù)定義作出判斷.
（2）①求出點B，D的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線OB解析式和直線CD解析式，二者聯(lián)立即可得點E 的坐標(biāo)，將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)即可求得這個“奇特函數(shù)”的解析式.
②根據(jù)題意可知，以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP，據(jù)此求出點P的坐標(biāo).
試題解析：（1）根據(jù)題意，得，
∵，∴.∴.
根據(jù)定義，是 “奇特函數(shù)”.
（2）①由題意得，.
易得直線OB解析式為，直線CD解析式為，
由解得.∴點E（3，1）.
將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)，得，整理得，解得.
∴這個“奇特函數(shù)”的解析式為.
②∵可化為，
∴根據(jù)平移的性質(zhì)，把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個單位，再向上平移2個單位就可得到.
∴關(guān)于點（6，2）對稱.
∵B（9，3），E（3，1），∴BE中點M（6，2），即點M是的對稱中心.
∴以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP.
由勾股定理得，.
設(shè)點P到EB的距離為m，
∵以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為，
∴.
∴點P在平行于EB的直線上.
∵點P在上，
∴或.
解得.
∴點P的坐標(biāo)為或或或.

考點：1.新定義和閱讀理解型問題；2.平移問題；3.反比例函數(shù)的性質(zhì)；4.曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.勾股定理；6.中心對稱的性質(zhì)；7.平行四邊形的判定和性質(zhì)；8.分類思想的應(yīng)用.