Question

（2003•鹽城）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸的正半軸交于點C，以AB為直徑的圓經過點C及拋物線上的另一點D，∠ABC=60度．
（1）求點A和點B的坐標（用含有字母c的式子表示）；
（2）如果四邊形ABCD的面積為，求拋物線的解析式；
（3）如果當x＞1時，y隨x的增大而減小，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）取圓心為M，根據拋物線和圓都是軸對稱圖形，可證明△BCM、△ADM、△CDM都是等邊三角形，其中OC是△BCM的高，解直角三角形可得BC長，即為圓的半徑，從而可表示A、B兩點坐標；
（2）由（1）可得AB=c，CD=c，OC=c，根據梯形面積公式求c，可得A、B、C三點坐標，設交點式求拋物線解析式；
（3）當x＞1時，y隨x的增大而減小，聯想對稱軸x=-=c≤1，易得c≤，又拋物線交y軸于正半軸，∴0＜c≤．
解答：解：（1）設線段AB的中點為M，連接CM、DM，由∠ABC=60°，MC=MB，
∴△BCM為等邊三角形，
∴由拋物線的對稱性可知△ADM也是等邊三角形，
又∵MC=MC，∠CMD=180°-60°-60°=60°，
∴△CDM也是等邊三角形，
故BC=CD=AD=AB，
解Rt△BOC得OB=OC=c，BC=2OB=c，
故A（c，0），B（-c，0）；

（2）當S_{四邊形ABCD}=時，×（c+c）×c=，
解得c=1，
∴A（，0），B（-，0），C（0，1），
設拋物線解析式y=a（x-）（x+），
把A（0，1）代入得a=-1，
∴y=-（x-）（x+），
即y=-x²+x+1；

（3）如果當x＞1時，y隨x的增大而減小，
則對稱軸x=-=c≤1，c≤，
又∵拋物線交y軸于正半軸，
∴0＜c≤．
點評：本題考查了圓與拋物線的綜合運用，要求會用對稱性，特殊三角形解答本題，也要熟練掌握解直角三角形的知識．