Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠B＝∠D．若AB＝3cm，BC＝5cm，點P從B點出發，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運動至A點停止，則從運動開始經過多少時間，△ABP為等腰三角形？

備用圖1

備用圖2 備用圖3

Answer 1

【答案】當點P運動3、2.5、、10秒時，△APE是等腰三角形

【解析】

利用AAS先證明△ABC≌△CDA，可得AD=BC，AB=CD；利用勾股定理先求得AC的長，再根據點P在BC上，點P在CD上，點P在AD上三種情況，結合等腰三角形的判定和勾股定理進行計算即可．

設點P運動的時間為t ，

在△ABC和△CDB中，

∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠D，AC=CA，

∴△ABC≌△CDB（AAS），

∴AD=BC，AB=CD，

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC===4．

設經過ts時，△ABP為等腰三角形．

當P在BC上時，

①BA=BP=3，即t=3時，△ABP為等腰三角形；

②BP=AP=BC=，即t=時，△ABP為等腰三角形；

③AB=AP時，如圖：

過A作AE⊥BC，垂足為E，AE=，

在Rt△ABE中，BE===．

∴BP=2BE=，

即t=時，△ABP為等腰三角形；

當P在CD上不能得出等腰三角形；

當P在AD上時，只能AB=AP=3，

∴BC+CD+DP=10，即t=10時，△ABP為等腰三角形．

答：從運動開始經過2.5s或3s或s或10s時，△ABP為等腰三角形．