Question

（2012•鄂州）在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長CB交x軸于點(diǎn)A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延長C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2012個正方形的面積為（　　）

• A．5?(

  3

  2

  )2010
• B．5?(

  9

  4

  )2010
• C．5?(

  9

  4

  )2012
• D．5?(

  3

  2

  )4022

Answer 1

分析：首先設(shè)正方形的面積分別為S₁，S₂…S₂₀₁₂，由題意可求得S₁的值，易證得△BAA₁∽△B₁A₁A₂，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得S₂的值，繼而求得S₃的值，繼而可得規(guī)律：S_n=5×（

3

2

）^2n-2，則可求得答案．

解答：解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA=1，OD=2，
設(shè)正方形的面積分別為S₁，S₂…S₂₀₁₂，
根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x，
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD=

OA2+OD2

=

5

，
∴AB=AD=BC=

5

，
∴S₁=5，
∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∴tan∠BAA₁=

A1B

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∴A₁B=

5

2

，
∴A₁C=BC+A₁B=

3 5

2

，
∴S₂=

9

4

×5=5×（

3

2

）²，
∴

A2B1

A1B

=

A1B1

AB

=

3 2 5

5

=

3

2

，
∴A₂B₁=

3

2

×

5

2

=

3 5

4

，
∴A₂C₁=B₁C₁+A₂B₁=

3 5

2

+

3 5

4

=

9

4

5

=

5

×（

3

2

）²，
∴S₃=

81

16

×5=5×（

3

2

）⁴，
由此可得：S_n=5×（

3

2

）^2n-2，
∴S₂₀₁₂=5×（

3

2

）^2×2012-2=5×（

3

2

）⁴⁰²²．
故選D．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是得到規(guī)律S_n=5×（

3

2

）^2n-2．