Question

【題目】定義：當點C在線段AB上，AC=nAB時，我們稱n為點C在線段AB上的點值，記作dC﹣AB=n．如點C是AB的中點時，即AC=AB，則dC﹣AB=；反過來，當dC﹣AB=時，則有AC=AB．

（1）如圖1，點C在線段AB上，若dC﹣AB=，則=　 　；若AC=3BC，則dC﹣AB=　 　；

（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AB=10cm，BC=6cm，點P、Q分別從點C和點B同時出發，點P沿線段CA以2cm/s的速度向點A運動，點Q沿線段BC以1cm/s的速度向點C運動，當點P到達點A時，點P、Q均停止運動，連接PQ交CD于點E，設運動時間為ts，dP﹣CA+dQ﹣CB=m．

①當≤m≤時，求t的取值范圍；

②當dP﹣CA=，求dE﹣CD的值；

③當dE﹣CD=時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①3≤t≤4；②0.6；③t的值為2.4或

【解析】分析：（1）當點C在線段AB上，AC=nAB時，我們稱n為點C在線段AB上的點值，記作dC-AB=n，據此進行判斷即可；
（2）①根據dP-CA=，dQ-CB=，即可得到m=dP-CA+dQ-CB=，再根據，即可得到不等式，進而解得3≤t≤4；
②根據dP-CA=，dP-CA+dQ-CB=m，可得dP-CA=dQ-CB，即，進而得出，求得t=2.4，再根據，∠ACB=∠PCQ，判定△ACB∽△PCQ，進而得到PQ∥AB，得出，即可得到dE-CD=dP-CA==0.6；
③分兩種情況：當PQ∥AB時，則有dE-CD=dP-CA=dQ-CB=，由②可得，t=2.4；當PQ與AB不平行時，過點P，Q分別作PM⊥CD于點M，QN⊥CD于點N，根據dE-CD=，dP-CA+dQ-CB=m，推理可得△PME≌△QNE，即可得出PM=QN，最后根據PM=PC×sin∠ACD=2t×sin∠B=，QN=QC×sin∠BCD=（6-t）sin∠A=（6-t），得到關于t的方程，即可得出t=．

詳解：（1）∵點C在線段AB上，若dC﹣AB=，

∴AC=AB，即=；

∵AC=3BC，

∴AC=AB，即dC﹣AB=，

故答案為：，；

（2）①在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8，

∵dP﹣CA==，dQ﹣CB==1﹣，

∴m=dP﹣CA+dQ﹣CB=+1﹣，

又∵≤m≤，

∴≤+1﹣≤，

解得3≤t≤4；

②∵dP﹣CA=，dP﹣CA+dQ﹣CB=m，

∴dP﹣CA=dQ﹣CB，

∴=，

∴=，

解得t=2.4，

∵=，∠ACB=∠PCQ，

∴△ACB∽△PCQ，

∴∠A=∠CPQ，

∴PQ∥AB，

∴=，

∴dE﹣CD=dP﹣CA==0.6；

③分兩種情況：

當PQ∥AB時，則有dE﹣CD=dP﹣CA=dQ﹣CB=，

由②可得，t=2.4；

當PQ與AB不平行時，過點P，Q分別作PM⊥CD于點M，QN⊥CD于點N，如圖所示，

則有PM∥QN∥AB，且點M，N，E不重合，

∴=， =，

∵dE﹣CD=，dP﹣CA+dQ﹣CB=m，

∴dP﹣CA+dQ﹣CB=2dE﹣CD，

∴+=2，即+=2，

∴CM+CN=2CE，即點E是MN的中點，

∴EN=EM，

又∵∠PME=∠QNE，∠PEM=∠QEN，

∴△PME≌△QNE，

∴PM=QN，

∵PM=PC×sin∠ACD=2t×sin∠B=，QN=QC×sin∠BCD=（6﹣t）sin∠A=（6﹣t），

∴=（6﹣t），

解得t=，

綜上所述，t的值為2.4或．