Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點E在直線BC上（不與點B，C重合），FM⊥AD，交射線AD于點M．

（1）當點E在邊BC上，點M在邊AD的延長線上時，如圖①，求證：AB+BE=AM；

（提示：延長MF，交邊BC的延長線于點H．）

（2）當點E在邊CB的延長線上，點M在邊AD上時，如圖②；當點E在邊BC的延長線上，點M在邊AD上時，如圖③．請分別寫出線段AB，BE，AM之間的數量關系，不需要證明；

（3）在（1），（2）的條件下，若BE=，∠AFM=15°，則AM= ．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）BE= AM+AB；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質和正方形的性質得到AE=EF，∠ABE=∠EHF=90°，得到△ABE≌△EHF，即可得到結論；

（2）同（1）先證明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性質定理可得結論；

（3）分三種情況討論，首先由∠AFM=15°，易得∠EFH，由△ABE≌△EHF，根據全等三角形的性質易得∠AEB，利用銳角三角函數易得AB，利用（1）（2）的結論，易得AM．

試題解析：（1）如圖①，延長MF，交邊BC的延長線于點H，∵四邊形ABCD是正方形，FM⊥AD，∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四邊形ABHM為矩形，∴AM=BH=BE+EH

∵△AEF為等腰直角三角形，∴AE=AF，∠AEB+∠FEH=90°，∵∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB=∠EFH，在△ABE與△EHF中，∵∠ABE=∠EHF=90°，∠ABE=∠EHF=90°，∠AEB=∠EFH，AE=EF，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH，∵AM=BH=BE+EH，∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM；

（2）BE= AM+AB．理由如下：

如圖②，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEH=∠EAB，在△ABE與△EHF中，∵∠ABE=∠EHF，∠EAB=∠FEH，AE=FE，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH=EB+AM；

如圖③∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，∴∠BAE=∠HEF，在△ABE與△EHF中，∵∠ABE=∠EHF，∠BAE=∠HEF，AE=FE，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH，∴BE=BH+EH=AM+AB；

（3）如圖①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFM=60°，∴∠EFH=120°，在△EFH中，∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，∴此情況不存在；

如圖②，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFH=60°，∵△ABE≌△EHF，∴∠EAB=∠EFH=60°，∵BE=，∴AB=BEtan60°==3，∵AB=EB+AM，∴AM=AB﹣EB=；

如圖③，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFH=45°﹣15°=30°，∴∠AEB=30°，∵BE=，∴AB=BEtan30°==1，∵BE=AM+AB，AM=BE﹣AB=，故答案為：或．