Question

（2012•天水）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知直徑AD=6，∠ABC=120°，∠ACB=45°，連接OB交AC于點(diǎn)E．
（1）求AC的長．
（2）求CE：EA的值．
（3）在CB的延長線上取一點(diǎn)P，使CB=

1

2

BP，求證：直線PA與⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理和“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”的性質(zhì)推知△ACD是直角三角形，且∠D=60°，所以通過解該直角三角形來求AC的長度即可；
（2）利用圓周角定理推知∠AOB=90°．所以在Rt△AOB中求得EA=2

3

．結(jié)合（1）中AC=3

3

即可求得CE的值；
（3）欲證直線PA與⊙O相切，只需證明AD⊥AP即可．

解答：解：（1）∵∠ABC=120°，∴∠D=60°．
∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°．
∵AD=6，∴AC=AD•sin60°=6×

3

2

=3

3

．

（2）∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°．
∴EA=

OA

cos30°

=2

3

．∴CE=AC-AE=

3

．
∴CE：EA=

3

：2

3

=1：2．

（3）證明：∵

CB

BP

=

1

2

，

CE

EA

=

1

2

，
∴

CB

BP

=

CE

EA

．
∴BE∥AP．
∵∠AOB=90°，
∴PA⊥OA．
∴直線PA與⊙O相切．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)以及解直角三角形．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．