Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點A的雙曲線的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D，交邊BC于點E.（1）填空：雙曲線的另一支在第_____象限，k的取值范圍是_____；

（2）若點C的坐標為（2，2），當點E在什么位置時？陰影部分面積S最小？

（3）若， =2，求雙曲線的解析式.

Answer 1

【答案】(1) 三，k＞0 (2) 當點E在BC的中點時，陰影部分的面積S最小 (3) y=

【解析】【試題分析】

（1）根據雙曲線的性質，k>0,雙曲線在一、三象限；k<0,在二、四象限.根據題意，該雙曲線的另一支一定在第三象限，且k>0;

（2）由題意得：A點的縱坐標為2，E點的橫坐標為2，根據反比例函數 ，設A點的坐標為（，2），E點的坐標為（2， ），則陰影部分的面積為

S△ACE+S△OBE=×（2-）×（2-）+×2×= +，當k-2=0，即k=2時， 最小，最小值為；即E點的坐標為（2，1），即E點為BC的中點.

（3）設D點坐標為（a， ），根據中點坐標公式得C點坐標為（2a， ）， 則A點的縱坐標為，代入y=得，x=,得A點坐標為（,），根據=2，得×（2a-）×=2，解得k=,

【試題解析】

（1）三，k＞0；

（2）∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，

而點C的坐標為（2，2），

∴A點的縱坐標為2，E點的橫坐標為2，B點坐標為（2，0），把y=2代入y=，得，x=,

把x=2代入y=得，y=，

∴A點的坐標為（，2），

E點的坐標為（2， ），

∴=S△ACE+S△OBE，

=×（2-）×（2-）+×2×，

= +，

當k-2=0，即k=2時， 最小，最小值為；

∴E點的坐標為（2，1），即E點為BC的中點，

∴當點E在BC的中點時，陰影部分的面積S最小；

（3）設D點坐標為（a， ），

∵=，

∴2OD=OC，

即D點為OC的中點，

∴C點坐標為（2a， ），

∴A點的縱坐標為，

把y=代入y=得，x=,

∴A點坐標為（,）

∵=2，

∴×（2a-）×=2，

∴k=,

∴雙曲線的解析式為y=.