Question

【題目】設k≠0，若函數y1＝kx+3，y2＝（x﹣k）2+k和y3＝（x+k）2﹣k的圖象與y軸依次交于A，B和C三點，設函數y2，y3的圖象的頂點分別為D，E．

（1）當k＝1時，請在直角坐標系中，分別畫出函數y1，y2，y3的草圖，并根據圖象，寫出你發現的兩條結論；

（2）BC長與k之間是正比例函數關系嗎？請作出判斷，并說明理由；

（3）若△ADE的面積等于9，求y2隨x的增大而減小時，x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析，直線與兩拋物線始終有兩個交點；B點在C點上方；（2）BC長與k之間是正比例函數關系，見解析；（3）x≤3．

【解析】

（1）當k=1時，分別求出它們的解析式，畫出圖象；
（2）求出B與C的坐標，求出BC=2k，可知BC與k是正比例函數；
（3）構造矩形求△BDE的面積，利用面積求k的值，進而求出y2的函數解析式，從而求解．

解：（1）當k＝1時，y1＝x+3，y2＝（x﹣1）2+1和y3＝（x+1）2﹣1．

如圖，

直線與兩拋物線始終有兩個交點；B點在C點上方；

（2）B（0，k2+k），C（0，k2﹣k），

∴BC＝（k2+k）﹣（k2﹣k）＝2k，

∴BC長與k之間是正比例函數關系；

（3）由表達式可知：D（k，k），E（﹣k，﹣k），

過D，E分別向x軸作垂線，過A，E分別向y軸作垂線，交點為O，P，E，N，

則由OPEN構造長方形，

∴S△ADE＝SPONE﹣S△APE﹣S△AOD﹣S△EDN＝2k（3+k）﹣k（3+k）﹣2k2k﹣k（3﹣k）＝3k，

∵△ADE的面積等于9，

∴3k＝9，

∴k＝3，

∴y2＝（x﹣k）2+k＝（x﹣3）2+3，

∴對稱軸是x＝3，

當y2隨x的增大而減小時，x≤3．

故答案為：（1）見解析，直線與兩拋物線始終有兩個交點；B點在C點上方；（2）BC長與k之間是正比例函數關系，見解析；（3）x≤3．