Question

如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD。

(1) 判斷直線PD是否為⊙O的切線，并說明理由；

(2) 如果ÐBDE=60°，PD=，求PA的長。

 

Answer 1

略

解析:解：(1) PD是⊙O的切線，連接OD，∵OB=OD，∴Ð2=ÐPBD，

        又∵ÐPDA=ÐPBD，∴ÐPDA=Ð2，又∵AB是半圓的直

        徑，∴ÐADB=90°，即Ð1+Ð2=90°，∴Ð1+ÐPDA=90°，

        即OD^PD，∴PD是⊙O的切線。

   (2) 方法一：

∵ÐBDE=60°，ÐODE=90°，ÐADB=90°，

∴Ð2=30°，Ð1=60°。∵OD=OA，

∴△AOD是等邊三角形。

∴ÐPOD=60°。∴ÐP=ÐPDA=30°，∴PA=AD=AO=OD，

在Rt△PDO中，設OD=x，

∴x2+()2=(2x)2，∴x1=1，x2= -1 (不合題意，舍去)，

    ∴PA=1。

    方法二：

∵OD^PE，AD^BD，ÐBDE=60°，∴Ð2=ÐPBD=ÐPDA=30°，

∴ÐOAD=60°，

∴ÐP=30°，∴PA=AD=OD，在Rt△PDO中，ÐP=30°，PD=，

∴tanÐP=，

    ∴OD=PD‧tanÐP=‧tan30°=´=1，∴PA=1。