Question

【題目】已知，如圖①，△ABC、△AED是兩個全等的等腰直角三角形（其頂點B、E重合），∠BAC=∠AED=90°，O為BC的中點，F為AD的中點，連接OF．

（1）問題發現
①如圖①，線段OF與EC的數量關系為；
②將△AED繞點A逆時針旋轉45°，如圖②，OF與EC的數量關系為；

（2）類比延伸
將圖①中△AED繞點A逆時針旋轉到如圖③所示的位置，請判斷線段OF與EC的數量關系，并給出證明．

（3）拓展探究
將圖①中△AED繞點A逆時針旋轉，旋轉角為α，0°≤α≤90°，AD= ，△AED在旋轉過程中，存在△ACD為直角三角形，請直接寫出線段CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）OF= EC；OF= EC
（2）

解：OF= EC．

證明：在等腰直角△ADE中，F為AD的中點，

∴AF= AD= AE，

在等腰直角△ABC中，O為BC的中點，

如圖1，

連接AO，

∴AO= AC，∠BAO=∠CAO=45°，

∵∠DAE=45°，

∴∠DAE=∠CAO，

∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO，

即∠DAO=∠CAE，

∵AE=AC，

∴AF=AO，

∴ = ，

∴△AFO∽△AEC，

∴ = = ，

∴OF= EC，

（3）

解：∵△ABC和△AED是兩個全等的等腰直角三角形，

∴AD=BC= ，

∴ED=AE=AB=AC=1，

△ACD為直角三角形時，分兩種情況：

①當AD與AB重合時，如圖2，

連接CD，

∵△ACD為直角三角形，AD⊥AC，

即將△ADE逆時針旋轉45°，

∵AD= ，AC=1，

∴由勾股定理可得CD= = ；

②當AE與AC重合時，如圖3，

△ACD為直角三角形，AC⊥CD，

即將△ADE逆時針旋轉90°，此時CD=AC=1．

即：CD的長為 或1．

【解析】解：（1）①∵△ABC、△AED是兩個全等的等腰直角三角形，
∴AD=BC，
∵O為BC的中點，F為AD的中點，
∴AF=OC，
∵∠BAC=∠AED=90°，
∴AD∥BC，
∴四邊形AFOC是平行四邊形，
∴OF=AC= EC，
故答案：OF= EC；②如圖，

∵AO= AC，∠BAO=∠CAO=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠CAO，
∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO，
即∠DAO=∠CAE，
∵AE=AC，
∴AF=AO，
∴ = ，
∴△AFO∽△AEC，
∴ = = ，
∴OF= EC，
故答案OF= EC
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．