Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知，，點，在軸上方，且四邊形的面積為32，

（1）若四邊形是菱形，求點的坐標．

（2）若四邊形是平行四邊形，如圖1，點，分別為，的中點，且，求的值．

（3）若四邊形是矩形，如圖2，點為對角線上的動點，為邊上的動點，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)(-4,4);(2);(3)

【解析】

(1)作DH⊥AB,先求出AB,根據菱形性質得AD=AB=8,再根據勾股定理求出AH,再求OH;

(2)延長EF與x軸相交于G,作EP⊥AB,根據平行線性質證△ECF≌△GBF(AAS),得BG=EC=4,EF=FG,AG=AB+BG=12,EG=2EF,根據勾股定理得:(AE+EG)2-2AEEG=AG2,根據三角形面積公式得:所以(AE+EG)2-2×48=122;

(3)作點B關于AC的對稱點,作,交AC于點M,此時BM+MN最小,連接;根據矩形性質和軸對稱性質得:AB=8,BC=,AC=,求得=,=AB=8,,設AN=x,則BN=8-x,由勾股定理可得:,可進一步求出.

(1)作DH⊥AB

因為,,

所以AB=4-(-4)=8,

因為四邊形ABCD是菱形,

所以AD=AB=8,

因為四邊形的面積為32,

所以DH=32÷8=4

所以根據勾股定理可得:AH=

所以OH=AH-OA=-4

所以點D的坐標是(-4,4)

(2)延長EF與x軸相交于G,作EP⊥AB

因為四邊形ABCD是平行四邊形,

所以DC=AB=8,DC//AB

所以∠C=∠CBG,∠CEF=∠BGF,

因為E,F分別是CD,AB的中點,

所以DE=CE=4,CF=BF,

所以△ECF≌△GBF(AAS)

所以BG=EC=4,EF=FG

所以AG=AB+BG=12,EG=2EF,

又因為AF⊥EF

所以AE2+EG2=AG2

所以(AE+EG)2-2AEEG=AG2

由(1)知EP=DH=4

所以根據三角形面積公式得:

所以

所以(AE+EG)2-2×48=122

所以

所以AE+2EF=

(3)作點B關于AC的對稱點,作,交AC于點M,此時BM+MN最小;連接.

因為四邊形ABCD是矩形,

所以由已知可得:AB=8,BC=

所以AC=

所以在三角形ABC中,AC上的高是:

因為AC是的對稱軸,

所以=,=AB=8,

設AN=x,則BN=8-x,由勾股定理可得:

解得x=,

所以

所以BM+MN=

即BM+MN的最小值是.