Question

【題目】如圖，點A是直線y＝﹣x上的動點，點B是x軸上的動點，若AB＝2，則△AOB面積的最大值為_____．

Answer 1

【答案】+1

【解析】

如圖，作△AOB的外接圓⊙C，連接CB，CA，CO，過C作CD⊥AB于D，則CA＝CB，連接OD，則OD≤OC+CD，依據當O，C，D在同一直線上時，OD的最大值為OC+CD，即可得到△AOB的面積最大值．

解：如圖所示，作△AOB的外接圓⊙C，連接CB，CA，CO，過C作CD⊥AB于D，則CA＝CB，

由題意可得∠AOB＝45°，∴∠ACB＝90°，

∴CD＝AB＝1，AC＝BC＝＝CO，

連接OD，則OD≤OC+CD，

∴當O，C，D在同一直線上時，OD的最大值為OC+CD＝+1，此時OD⊥AB，

∴△AOB的面積最大值為AB×OD＝×2（+1）＝+1，

當點A在第二象限內，點B在x軸正半軸上時，同理可得，△AOB面積的最大值為﹣1（舍去）．

故答案為：+1．